MAKALAH MATEMATIKA “Program Linear”

MAKALAH MATEMATIKA

“Program Linear”

KELOMPOK :

1.    Alfini M

2.    Ayatullah F R

3.    Vicky Eka

(Komputerisasi Akuntansi)

AMIK TARUNA PROBOLINGGO

Jln. Raya Leces No. 23 Probolinggo

       

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Di dalam matematika mulai dari SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi  terdapat berbagai cabang pembahasan yang ada yang dipelajari siswa dalam kegiatan belajar mengajar di sekolah maupun perguruan tinggi. Cabang pelajaran yang ada antara lain: logika matematika, aljabar, ruang dimensi tiga, trigonometri, kalkulus, peluang, dan statistika, Seorang siswa harus memahami setiap pelajaran yang diajarkan oleh gurunya agar ia tidak ketinggalan pelajaran dan bisa mengerti maksud atau kegunaan dari pelajaran tersebut. Selain itu, ia juga harus bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan pelajaran tersebut supaya
mendapat nilai yang bagus.

Salah satu bab dalam matematika adalah program linear. Dalam program linear terdapat persamaan suatu bilangan karena masih masuk dalam aljabar. Dan mempunyai kegunaan yang penting terutama berhubungan dengan kehidupan sehari-hari.

Pelajaran ini membahas beberapa hal atau bagian yang dibatasi oleh syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat itu adalah susunan pertidaksaman linear dan tentu di dalamnya masih ada hal-hal lainnya yang saling berkaitan(berkaitan erat).

1.2  Rumusan Masalah

Dengan berpijak atas latar belakang tersebut dapatlah dikemukakan berbagai topik bahasan atau masalah yang akan dikaji dalam penulisan makalah ini. Adapun berbagai topik bahasan dalam makalah ini dapat dirumuskan dalam bentuk-betuk pertanyaan berikut ini:

1.      Apa pengertian dari program linear?

2.      Apa kegunaan program linear yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari?

3.      Apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear?

1.3  Tujuan

Dari rumusan masalah di atas dapat disusun tujuan penulisan makalah, yaitu:

1.      Untuk mengetahui pengertian program linear

2.      Untuk mengetahui kegunaan program linear yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari

3.      Untuk mengetahui apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear

PEMBAHASAN

2.1   Pengertian Program Linear

Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum).

Program linear merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukan, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas (Handy A.Taha, 1987).

Program linear berasal dari kata pemrograman dan linear. Pemrograman artinya perencanaan dan linear berarti bahwa fungsi-fungsi yang digunakan merupakan fungsi linear. Jadi, program linear adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah. Kemudian dipilih yang terbaik diantaranya dalam rangka menyusun langkah-langkah kebijaksanaan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas. Kegunaannya adalah mencapai tujuan dan sasaran yang diinginkan secara optimal (Media Anugerah Ayu, 2006).

Program linear merupakan salah satu teknik penelitian operasional yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik, serta berupa metode matematik, yang berfungsi mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linear banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, dan sosial. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan dan sistem kendala linier (Sri Mulyono, 2002).

Untuk  lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh berikut.

Contoh:
Tentukan daerah  penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut!
3x + 5y  15
x  0
y  0

Penyelesaian:
Gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0
Untuk 3x + 5y  15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
3 × 0 + 5× 0  15
0  15 (benar), artinya dipenuhi
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0)
Untuk x  0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1  0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)
Untuk y  0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1  0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).
Selanjutnya arsir daerah yang memenuhi persamaan, seperti gambar dibawah ini.

Daerah  penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).

2.2  Kegunaan program linear

Program linear digunakan untuk memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan). Dari sini program linear dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah manusia. Dalam kehidupan sehari-hari tentu banyak masalah yang berkaitan dengan perhitungan, seperti dalam berdagang. Dalam berdagang seorang pedagang pasti ingin mendapat keuntungan atau laba yang besar/maksimum, maka program linear dapat digunakan untuk menghitung maksimum laba yang bisa diperoleh seorang pedagang.

2.3   Hal-hal yang Dibahas dalam Program Linear

a.       Program Linear dan Model Matenatika

Program linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang digunakan untuk memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan), seperti mencari keuntungan maksimum dari penjualan suatu produk.

Dalam memecahkan masalah pengoptimalan dengan program linear terdapat kendala-kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu sistem pertidaksamaan linear, yang disebut pemodelan matematika dan sistem pertidaksamaan yang terbentuk disebut model matematika.

Model matematika adalah sistem persamaan atau pertidaksamaan yang mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y.

Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika.

b.      Sistem Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabelnya satu, gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear.

Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel: ax+by≥c atau ax+by≤c ,dengan a,b, dan c anggota himpunan bilangan real.

Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel merupakan pasangan bilangan (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik dan titik uji.

Pertidaksamaan Linear juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah menjadi model matematika. Jadi, Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Perhatikan contoh berikut :

Pak Adi merupakan seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang dapat memuat 600 bungkus roti. Roti yang dijualnya yaitu roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing  Rp 5.500,00 untuk roti manis dan Rp 4.500,00 untuk roti tawar per bungkusnya. Dari penjualan roti tersebut, beliau memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki oleh Pak Budi adalah Rp 600.000, buatlah model matematika agar beliau dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!

Penyelesaian :

Permasalahan Pak Adi diatas  dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti manis sebgai x dan roti tawar sebagai y sehingga diperoleh tabel sebagai berikut.

Berdasarkan tabel diatas jika kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear menjadi

x+y ≤ 600,
5.500x + 4.500y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0

Dua pertidaksamaan terakhir (baris ketiga) menunjukkan syarat dari nilai x dan y. Dikarenax dan y merupakan pernyataan yang menyatakan banyaknya roti, maka tidak mungkin nilaix dan y bernilai negatif.

Perhatikan kolom keempat dari tabel di atas yang menyatakan fungsi yang akan ditentukan nilai maksimumnya (nilai optimum). Fungsi tersebut dapat dituliskan dalam persamaan matematika sebagai berikut.

f(x,y) = 500x + 600y

untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan diatas kita dapat mengikuti langkah berikut :
1.) Ubah masalah tersebut ke dalam model matematika yaitu dengan membuat tabel, fungsi pembatas dan fungsi tujuan. Tabel di sini untuk mempermudah membaca data. Fungsi pembatas/kendala yaitu beberapa pertidaksamaan linier yang berhubungan dengan permasalahan tersebut. Fungsi tujuan/objektif yaitu suatu fungsi yang berhubungan dengan tujuan yang akan dicapai. Biasanya fungsi tujuan dinyatakan dengan f(x,y) = ax + by atau z = ax + by
2.) Lukislah daerah penyelesaian dari fungsi pembatasnya
3.)Tentukan koordinat-koordinat titik ujung daerah penyelesaian. Jika belum ada gunakan bantuan eliminasi dari perpotongan 2 garis
4.) Ujilah masing-masing titik ujung daerah penyelesaian
5.) Tentukan nilai terbesar/terkecilnya sesuai dengan tujuan yang akan dicapai
dimana langkah no 1 telah kita dapatkan karena disini rumus matematika menunjukan bagaimana cara membuat model matematika. Selanjutnya ikuti langkah berikutnya agar kita memperoleh daerah penyelesaiannya.

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear ax+by≥c dengan menggunakan metode grafik dan titik uji, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.      Menggambar garis ax+by=c

2.      Melakukan uji titik, yaitu mengambil sebarang titik (x,y) yang tidak terletak pada garis ax+by=c, kemudian mensubstitusikan ke dalam pertidaksamaan ax+by≥c

·        Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c.

·        Jika pertidaksamaan bernilai salah, maka himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c.

3.      Tanpa melakukan uji titik, daerah himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dapat dilakukan sebagai berikut:

·        Pertidaksamaan ax+by≥c, jika b>0, maka daerah HP berada di kanan/di atas garis ax+by=c, jika b<0, maka daerah HP berada di kiri/di bawah garis ax+by=c

·        Pertidaksamaan ax+by≤c, jika b>0, maka daerah HP berada di kiri/di bawah garis ax+by=c, jika b<0, maka daerah HP berada di kanan/di atas garis ax+by=c

c.       Nilai Optimum suatu Bentuk Objektif

Nilai optimum diperoleh berdasarkan nilai fungsi tujuan yang dikehendaki, yaitu berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Cara mencarinya bisa dengan :

a.) Mensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian terhadap fungsi tujuan.

b.) Menggunakan garis selidik.

Dalam program linear, bentuk objektif atau fungsi objektif adalah bentuk atau fungsi f(x,y)=ax+by yang hendak dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan).

Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan garis selidik atau metode titik pojok (titik sudut).

Menentukan nilai optimum bentuk objektif dengan metode titik pojok dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi objektif ax+by untuk setiap titik pojok (x,y) dari daerah himpunan penyelesaian.

Apabila suatu persoalan program linear mempunyai bentuk objektif f(x,y)=ax+by, maka garis selidik memiliki persamaan ax+by=k, untuk k anggota himpunan bilangan real. Dengan mengambil beberapa nilai k akan diperoleh himpunan garis-garis saling sejajar yang dinamakan garis selidik, satu diantara garis-garis itu akan melalui suatu titik yang mengakibatkan nilai bentuk objektif mencapai optimum.

PENUTUP

Dari semua uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa program linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum). Kegunaan program linear adalah untuk memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan), seperti mencari keuntungan maksimum dari penjualan suatu produk. Hal-hal yang dibahas dalam program linear adalah program linear dan modul matematika, sistem pertidaksamaan linear, serta nilai optimum suatu bentuk objektif.

DAFTAR RUJUKAN

http://nnoviamanis.blogspot.com/2008/07/pengertian-dan-macam-macam-program_23.html ,diakses 23 Mei 2010.

http://fingelia.blogspot.com/2009/12/beberapa-pengertian-program-linier.html ,diakses 23 Mei 2010.

Ahmad, Fredi. 2008. Kupas Matematika. Bekasi: Ganeca Exact.

Solahudin,Rohmad.& Tholib,M. 2009.  Panduan dan Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA SMA/MA. Ponorogo: CV. Berkah Adi Karya.