- Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg
apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli
3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa
membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp.
80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.
Pembahasan :
misalkan :
apel = x
anggur = y
jeruk = z
Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
1). 2x + 2y + z = 67.000
2). 3x + y + z = 61.000
3). x + 3y + 2z = 80.000
Ditanya : x + y + 4z = ....?
Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang.
Dari persamaan no 1 dan 2 diperoleh persamaan 4 :
Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh persamaan 5 :
Dari persamaan no 4 dan 5 diperoleh :
Jadi harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah :
x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7000) = Rp 58.000,00.
- Pada sebuah toko buku, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan
harga Rp 26.000,00. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan
harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp.
12.000,00. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan biaya
yang harus dikeluarkan oleh Bibah.
Pembahasan :
misalkan :
buku = x
pulpen = y
pensil = z
Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
1). 4x + 2y + 3z = 26.000
2). 3x + 3y + z = 21.000
3). 3x + z = 12.000
Ditanya : 2y + 3z = ....?
Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu mencari harga satuan y dan z.
Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan 3x + z = 12.000, diperoleh harga satuan pulpen yaitu :
Selanjtunya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut :
Jadi, harga 2 pulpen dan 3 pensil adalah :
2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = Rp 13.200,00.
- Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu
laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150
pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu.
Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan
keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika
banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka
tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.
Pembahasan :
Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya adalah keuntungan penjualan sepatu. Jadi fungsi tujuannya adalah :
F(x,y) = 10.000x + 5.000y
Dengan pemisalan :
sepatu laki-laki = x
sepatu perempuan = y
Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut :
x + y <= 400
100 => x <= 150
150 => y <= 250
Karena maksimum sepatu laki-laki hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 - 150 = 250.
Dari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut :
Sistem pertidaksamaan linear
Dari grafik jelas telihat bahwa keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas yaitu titik (150,250). Maka nilai maksimum dari fungsi tujuan F(x,y) = 10.000x + 5000y adalah :
F(150,250) = 150 (10.000) + 250 (5.000) = 2.750.000
Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp 2.750.000,00.
- Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg
tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue
dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula
pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem
dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual
dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp
500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh
pembuat kue tersebut.
Pembahasan :
Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita tersebut. Karena yang ditanya pendapatan maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem pertidaksamaan, yang perlu kita lakukan adalah menentukan variabel dan koefisiennya.Bahan yang tersedia:Tepung = 8 kg = 8000 gGula = 2 kg = 2000 g
Misalkan :kue dadar = xkue apem = y
Maka jumlah tepung, gula, dan harga jual merupakan koefisien. Agar lebih mudah, kita dapat memasukkan data yang ada pada soal ke dalam bentuk tabel seperti berikut :
Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut :20x + 50y = 800 ---> 2x + 5y <= 80010x +5y = 2000 ---> 2x + y <= 400x >= 0 dan y >= 0dengan fungsi tujuan f(x,y) = 300x + 500y
Kemudian gambarkan sistem pertidaksamaan yang sudah disusun dalam grafik.
Untuk garis 2x + 5y = 800
x = 0, y = 160 ---> (0, 160)
y = 0, x = 400 ---> (400, 0)
Untuk garis 2x + y = 400
x = 0, y = 400 ---> (0, 400)
y = 0, x = 200 ---> (200, 0)
Sistem pertidaksamaan linear
Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400
2x + y = 400
y = 400 - 2x
Dengan metode substitusi :
2x + 5y = 800
2x + 5(400 - 2x) = 800
2x + 2000 - 10x = 800
-8x = -1200
x = 150
Karena x = 150, maka :
y = 400 - 2x
y = 400 - 2(150)
y = 400 - 300
y = 100
Dengan demikian titik B (150, 100)
Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi tujuan :
A(0, 160) ---> F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000
B(150, 100) ---> F(x,y) = 300(150) + 500(100) = 95.000
C(200, 0) ---> F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000
Jadi, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 95.000,00.
(Corrected by Ririf Dadah : 26-08-2015)
- Menjelang hari raya Idul Adha, Pak
Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di
Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang
dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi
dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp
9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih
dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi
dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.
Pembahasan :
Karena ditanya keuntungan, tentu fungsi tujuannya adalah besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Untuk itu, tentukan terlebih dahulu keuntungan menjual sapi dan kerbau sebagai berikut :
untung sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00
untung kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00
Misalkan banyak sapi = x dan banyak kerbau = y, maka fungsi tujuan menjadi :
F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y
Model matematika yang memenuhi soal adalah :
x >= 0 ---> banyak sapi tidak mungkin negatif
y >= 0 ---> banyak kerbau tidak mungkin negatif
x + y <= 15 ---> karena kandang hanya dapat menampung 15 ekor.
Karena modal Pak Mahmud Rp 124.000.000,00 maka :
9.000.000x + 8.000.000y <= 124.000.000 ---> disederhanakan menjadi :
9x + 8y <= 124
Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam grafik.
Untuk x + y = 15
jika x = 0, maka y = 15 ---> (0,15)
jika y = 0, maka x = 15 ---> (15,0)
Untuk 9x + 8y = 124
jika x = 0, maka y = 15,5 ---> (0, 16) ---> digenapkan karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2.
jika y = 0, maka x = 13,7 ---> (13 ,0) ---> digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.
Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C dapat ditentukan secara langsung yaitu A(0,15) dan C(13,0). Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.
x + y = 15 , maka x = 15 - y ---> substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124
9(15 - y) + 8y = 124
135 - 9y + 8y = 124
y = 11x + y = 15x + 11 = 15x = 4 ----> jadi titik B(4,11)
Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :
A(0,15) ---> f(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000
B(4,11) ---> f(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000
C(13,0) ---> f(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000
Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.
- Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan
gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg
dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan
gerobaknya hanya dapat menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika
harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka
tentukanlah laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.
Pembahasan :
Karena ditanya laba maksimum, maka fungsi tujuannya adalah keuntungan dari menjual buah mangga dan buah pisang perkilonya.
Berikut untung penjualan :
mangga = 9.200 - 8.000 = 1.200
pisang = 7.000 - 6000 = 1.000
misalkan :
mangga = x
pisang = y
maka fungsi tujuannya adalah :
F(x,y) = 1.200x + 1.000y
Model matematika atau sistem pertidaksamaan yang memenuhi soal tersebut adalah :
x + y <= 180
8.000x + 6.000y <= 1.200.000 ---> 4x + 3y <= 600
x >= 0
y >= 0
Titik potong masing-masing garis terhadap sumbu x dan sumbu y :
Garis x + y = 180
untuk x = 0 , y = 180 ---> (0, 180)
untuk y = 0, x = 180 ---> (180,0)
Garis 4x + 3y = 600
untuk x = 0, y = 200 ---> (0, 200)
untuk y = 0, x = 150 ---> (150, 0)
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah :
Dari grafik diketahui ada tiga titik pojok yaitu A, B, dan C. Titik C merupakan perpotongan antara garis x + y = 180 dengan 4x + 3y = 600.
Substitusi titik pojok pada fungsi objektif F(x,y) 1.200x + 1.000y :
A (0, 180) ---> F(x,y) =1.000(180) = 180.000
B (60, 120) ---> F(x,y) = 1.200(60) + 1.000(120) = 192.000
C (150,0) ---> F(x,y) = 1.200(150) = 180.000
Jadi laba maksimum yang diperoleh pedagang buah adalah Rp 192.000,00. - Sebuah perusahaan properti memproduksi
dua macam lemari pakaian yaitu tipe lux dan tipe sport dengan
menggunakan 2 bahan dasar yang sama yaitu kayu jati dan cat pernis.
Untuk memproduksi 1 unit tipe lux dibutuhkan 10 batang kayu jati dan 3
kaleng cat pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport
dibutuhkan 6 batang kayu jati dan 1 kaleng cat pernis. Biaya produksi
tipe lux dan tipe sport masing-masing adalah Rp 40.000 dan Rp 28.000 per
unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling
sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan
harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport
paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport
yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum.
Pembahasan:
Karena yang ditanya adalah biaya produksi minimum, maka ongkos produksi masing-masing tipe lemari merupakan fungsi tujuannya. Bila kita misalkan tipe lux = x dan tipe sport = y, maka fungsi tujuannya adalah sebagai berikut :
F(x,y) = 40.000x + 28.000y
Selanjutnya, model matematika untuk kendala yang diberikan adalah seperti di bawah ini. Perhatikan bahwa tanda pertidaksamaan yang digunakan untuk soal penentuan nilai minimum adalah lebih besar dari sama dengan (>=) seperti di bawah ini :
x >= 2 ---> karena tipe lux paling sedikit 2 buah
y >= 4 ---> karena tipe sport paling sedikit 4 buah
10x + 6y >= 120 ---> kayu jati yang digunakan paling sedikit 120 batang
3x + y >= 24 ---> cat pernis yang digunakan paling sedikit 24 kaleng
Titik potong masing-masing kendala terhadap sumbu x dan sumbu y adalah sebagai berikut :
untuk 10x + 6y = 120
misal x = 0, maka y = 20 ---> (0,20)
misal y = 0, maka x = 12 ---> (12,0)
untuk 3x + y = 24
misal x = 0, maka y = 24 ---> (0,24)
misal y = 0, maka x = 8 ---> (8,0)
Setelah itu kita gambarkan grafik sesuai dengan titik-titik yang telah kita peroleh dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Karena lebih besar sama dengan (>=), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah di atas/kanan garis.
Dari garfik di atas jelas terlihat bahwa terdapat tiga titik pojok yang akan diuji untuk dilihat titik manakah yang menghasilkan nilai minimum.
Titik C merupakan perotongan antara garis y = 4 dan 10x + 6y = 120. Dengan mensubstitusi nilai y = 4 pada persamaan 10x + 6y = 120, maka diperoleh :
10x + 6(4) = 120
10x = 96
x = 9,6 = 9 ---> digenapkan 9 karena tidak mungkin 0,6 buah.
maka titik C(9,4)
Titik B merupakan perpotongan antara garis 10x + 6y = 120 dan garis 3x + y = 24. Dengan metode substitusi diperoleh :
3x + y = 24 ---> y = 24 - 3x ---> substitusi ke persamaan 10x + 6y = 120
10x + 6(24 - 3x) = 120
10x + 144 - 18x = 120
-8x = -24
x = 3
Sunstitusi x = 3 ke persamaan y = 24 - 3x
y = 24 - 3(3) = 15 ---> titik B(3,15)
Titik A merupakan perpotongan antara garis 3x + y = 24 dengan x = 2. Dengan mensubstitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 24, maka diperoleh :
3(2) + y = 24
y = 24 - 6
y = 18 ---> titik A(2,18)
Langkah terakhir, substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan F(x,y) = 40.000x + 28.000y sebagai berikut :
A(2,18) ---> F(x,y) = 40.000(2) + 28.000(18) = 584.000
B(3,15) ---> F(x,y) = 40.000(3) + 28.000(15) = 540.000
C(9,4) ---> F(x,y) = 40.000(9) + 28.000(4) = 482.000
Jadi agar biaya produksi minimum, perusahaan sebaiknya memproduksi 9 buah lemari tipe lux dan 4 buah lemari tipe sport dengan biaya produksi Rp 482.000,00
- Seorang pedagang furnitur ingin
mengirim barang dagangannya yang terdiri atas 1.200 kursi dan 400 meja.
Untuk keperluan tersebut, ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat
memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt dapat memuat 40
kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa sebuah truk Rp 200.000,00
sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp 160.000,00. Tentukan jumlah truk
dan colt yang harus disewa agar ongkos pengiriman minimum.
Pembahasan :
Agar ongkos kirim minimum, maka fungsi tujuannya adalah ongkos sewa. Misal truk = x dan colt = y, maka fungsi tujuannya menjadi :
F(x,y) = 200.000x + 160.000y
Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut :
30x + 40y >=1.200 ---> 3x + 4y >= 120
20x + 10y >= 400 ---> 2x + y >= 40
x >= 0
y >= 0
- Seorang petani memiliki tanah tidak
kurang dari 10 hektar. Ia merencanakan akan menanami padi seluas 2
hektar sampai dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas 4 hektar sampai
dengan 6 hektar. Untuk menanam padi perhektarnya diperlukan biaya Rp
400.000,00 sedangkan untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan biaya
Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa banyak
masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.
Pembahasan :
Dengan memisalkan padi = x dan jagung = y, fungsi tujuan yang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut :
F(x,y) = 400.000x + 200.000y
Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah :
x >= 2 ---> paling sedikit 2 hektar padi
x <= 6 ---> paling banyak 6 hektar padi
y >= 4 ---> paling sedikit 4 hektar jagung
y <= 6 ---> paling banyak 6 hektar padi
x + y >= 10 ---> tanah tidak kurang 10 hektar
Dari grafik diketahui titik pojok A(4,6), B(6,6), dan C(6,4). Substitusi ke fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y, maka diperoleh :
A(4,6) ---> F(x,y) = 400.000(4) + 200.000(6) = 2.800.000
B(6,6) ---> F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(6) = 3.600.000
C(6,4) ---> F(x,y) = 400.000(6) + 200.000(4) = 3.200.000
Jadi agar biaya tanam minimum, petani sebaiknya menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung.
Tentukan titik koordinat garis kendala yang diperoleh sebagai beikut :
untuk 3x + 4y >= 120
misal x = 0, maka y = 30 ---> (0,30)
misal y = 0, maka x = 40 ---> (40,0)
untuk 2x + y >= 40
misal x = 0, maka y = 40 ---> (0,40)
misal y = 0, maka x = 20 ---> (20,0)
untuk 3x + 4y >= 120
misal x = 0, maka y = 30 ---> (0,30)
misal y = 0, maka x = 40 ---> (40,0)
untuk 2x + y >= 40
misal x = 0, maka y = 40 ---> (0,40)
misal y = 0, maka x = 20 ---> (20,0)
Gambarkan ke dalam grafik dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya seperti berikut :
Dari grafik di atas,diperoleh titik A(0,40), B(8,24), dan C(40,0). Untuk
memastikan titik mana yang menghasilkan nilai minimum, ada baiknya kita
uji satu-persatu.
A(0,40) ---> F(x,y) = 200.000(0) + 160.000(40) = 6.400.000
B(8,24) ---> F(x,y) = 200.000(8) + 160.000(24) = 5.440.000
C(40,0) ---> F(x,y) = 200.000(40) + 160.000(0) = 8.000.000
Jadi agar biaya pengiriman minimum, pedagang tersebut sebaiknya menyewa 8 truk dan 24 colt.
B(8,24) ---> F(x,y) = 200.000(8) + 160.000(24) = 5.440.000
C(40,0) ---> F(x,y) = 200.000(40) + 160.000(0) = 8.000.000
Tidak ada komentar:
Posting Komentar